Question

已知点是长轴长为的椭圆： 上异于顶点的一个动点， 为坐标原点， 为椭圆的右顶点，点为线段的中点，且直线与的斜率之积恒为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，点横坐标的取值范围是，求的最小值.

Answer

（Ⅰ）;(Ⅱ) ．

【解析】试题分析：（1）利用斜率公式化简条件：直线与的斜率之积恒为 ，变形成椭圆标准方程形式，即得结果，(2)将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理以及弦长公式可得关于直线斜率的函数关系式，再根据中点坐标公式列出线段的垂直平分线，并求与轴交点横坐标，根据点横坐标的取值范围，确定直线斜率取值范围，最后根据直线斜率取值范围确定的最小值.

试题解析：（Ⅰ）∵椭圆的长轴长为，∴．

设，

∵直线与的斜率之积恒为，∴，

∴，∴，

故椭圆的方程为.

(Ⅱ) 设直线方程为，代入有，

设， 中点，

∴.

∴

∴的垂直平分线方程为，

令，得

∵，∴，∴．

，

．

点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.