Question

设函数．

（1）证明： 在单调递减，在单调递增；

（2）若对于任意，都有，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ．

【解析】（Ⅰ）．

若，则当时， ， ；当时， ， ．

若，则当时， ， ；当时， ， ．

所以， 在单调递减，在单调递增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的， 在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意， 的充要条件是： 即①，设函数，则．当时， ；当时， ．故在单调递减，在单调递增．又， ，故当时， ．当时， ， ，即①式成立．当时，由的单调性， ，即；当时， ，即．综上， 的取值范围是．

考点：导数的综合应用．