Question

等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数（且， 均为常数）的图象上．
（1）求的值；

（2）当时，记，证明：对任意的，不等式成立．

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析： (1)由已知中因为对任意的，点，均在函数且均为常数的图象上，根据数列中与的关系，我们易得到一个关于的方程，再由数列为对等比数列即可得到的值；（2）将代入，我们可以得到数列的通项公式，再由，我们可给数列的通项公式，进而可将不等式进行简化，然后利用数学归纳法对其进行证明.

试题解析：（1）由题意， ，当时， ，所以

且，所以时， 是以为公比的等比数列，

又， ， ，即，解得.

（2）当时，由（1）知，因此，

所以不等式为

①当时，左式，右式，左式>右式，所以结论成立

②假设时结论成立，即，

则当时，

要证当时结论成立，只需证成立，

只需证： 成立，显然成立，

∴当时， 成立，综合①②可知不等式成立．

【方法点睛】本题主要考查本题考查的数学归纳、数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于难题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.