Question

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为： ，已知甲、乙两地相距100千米．

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

Answer

（1）17.5；（2）以80千米／小时的速度匀速行驶时耗油最少,最少为11.25升.

【解析】试题分析：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，即可列出方程，求解结果；（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，根据题意列出函数关系式，利用导数得出函数的单调性，求解函数的最值，即可得到结论.

试题解析：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，

要耗没（升）.

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升

（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，

依题意得

令，得

当时， 是减函数；当时， 是增函数.

当时， 取到极小值因为在上只有一个极值，

所以它是最小值.

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.

考点：函数的解析式；导数在函数的应用.

【方法点晴】本题主要考查了实际应用问题，其中解答中涉及到函数解析式的求解，利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，解答中正确理解题意，列出函数的解析式，以及转化为导数在函数的应用是解答的关键.