Question

已知函数．

(Ⅰ)当时，求的单调区间；

(Ⅱ)设，且有两个极值点，其中，若恒成立，求的取值范围。

Answer

（I）单调递增区间是和，单调递减区间是；（II）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先注意到函数的定义域，求函数的导数 ，在定义域内求 和 的区间；（Ⅱ）首先求 ，根据导数 ，得到 ，得到根与系数的关系，其中 ，并代入求 ，并求函数 的最小值，即得到的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）易求的定义域，

当时， ， ，

令得， 或，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是；

（Ⅱ）由已知得， ，

，

令，得，

∵有两个极值点，∴，∴，

又∵，∴，

∴

设， ,

∵，

当时，恒有，∴在上单调递减，∴，

故，又∵恒成立，∴.

【点睛】导数中出现恒成立的问题是高考常考题型，一般可参变分离，转化为求函数恒成立的问题，根据导数根与系数的关系，求得 ，这样 ，将函数变形为 的函数，并求函数的导数，根据导数判断函数的单调性，求得函数的最值，得到 的取值范围.