Question

已知椭圆和直线： ，椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知定点，若直线过点且与椭圆相交于两点，试判断是否存在直线，使以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（I）；（II）或.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆中的 ，以及 ，和点到直线的距离公式计算求得 ；（Ⅱ）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线为 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系计算 ，从而求得斜率 和直线方程.

试题解析：（Ⅰ）由直线，∴，即——①

又由，得，即，又∵，∴——②

将②代入①得，即，∴， ， ，

∴所求椭圆方程是；

（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，直线方程为，

则直线与椭圆的交点为，又∵，

∴，即以为直径的圆过点；

②当直线的斜率存在时，设直线方程为， ， ，

由，得，

由，得或，

∴， ，

∴

∵以为直径的圆过点，∴，即，

由， ，

得，∴，

∴，解得，即；

综上所述，当以为直径的圆过定点时，直线的方程为或.