Question

如图，已知四棱锥的底面为菱形， ， ， .

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer

（I）详见解析；（II）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明线线平行，可先转化为证明线面平行，取的中点 ,连结 ，根据条件证明平面 ；（Ⅱ）根据垂直关系可证明平面 ，所以可以以点为原点， 为 轴建立空间直角坐标系，分别求平面 的法向量，根据 求解.

试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连结，

∵△为等腰三角形，∴，

又∵四边形是棱形，∠，

∴是等边三角形，∴，

又，∴平面，又平面，∴；

（Ⅱ）【解析】
可求得： ， ，

∴，∴，

以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则， ， ， ， ，

， ， ，

设平面的法向量为，则，即，

令，得，

设平面的法向量为，则，即，

令，得，

∴，

经观察二面角的大小为钝角，设为，∴．

【点睛】立体几何的第一问，经常考到证明线线，线面垂直，若是证明线线垂直，也经常转化为证明线面垂直，需证明线与包含另一条直线的平面垂直，而证明线面垂直又需证明线与平面内的两条相交直线垂直，那么直角三角形的直角边垂直，或是等腰三角形的底边中线垂直底边，或是三线满足勾股定理，都可以证明线线垂直，只有证明了垂直，才可以为后面建立空间向量打下一个很好的基础.