Question

某次考试中，语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如下：

（Ⅰ）如果成绩大于135的为特别优秀，随机抽取的500名学生在本次考试中语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）

（Ⅱ）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（Ⅰ）中至少有一科成绩特别优秀的同学中随机抽取3人，设3人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.

（附公及表）

①若，则， ；

②， ；

③

Answer

（I）数学人，语文人；（II）期望为；（III）有的把握认为语文特别优秀的同学数学也特别优秀.

【解析】试题分析：（Ⅰ）语文服从正态分布， ，即 ，根据频率分布直方图计算成绩大于135的频率，再乘以500就是人数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果可知，至少有一科特别优秀的有16人，其中都优秀的有6人，恰有一科优秀的有10人， 服从超几何分布，列出分布列；（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）列 列联表，计算 和6.635比较大小.

试题解析：（Ⅰ） ∵语文成绩服从正态分布，

∴语文成绩特别优秀的概率为，

数学成绩特别优秀的概率为，

故语文特别优秀的同学有人，数学特别优秀的同学有人；

（Ⅱ）∵至少有一科成绩特别优秀的同学人数为： ，

∴语文、数学两科都优秀的有人，单科优秀的有人， 的所有可能取值为，

∴， ，

， ，

∴的分布列为：

0

1

2

3

∴；

（Ⅲ）列联表：

语文特别优秀

语文不特别优秀

合计

数学特别优秀

6

6

12

数学不特别优秀

4

484

488

合计

10

490

500

由于，

∴有的把握认为语文特别优秀的同学数学也特别优秀．

注：计算时，不计算出近似值144.5，答案中类有似“”的化简步骤直接写出“>6.635”不扣分．