Question

已知函数．

（1）当时，求的极值；

（2）若，存在两个极值点，试比较与的大小；

（3）求证：．

Answer

（1），没有极大值;（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）求出函数的定义域，求出导数，求得单调区间，即可得到极值；（2）求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当时，，运用导数，判断单调性，即可得到结论；（3）当时，恒成立，即恒成立，设，即，即有，运用累加法和等差数列的求和公式及对数的运算性质，即可得证.

试题解析：（1），定义域，

，

递减，递增．

故，没有极大值．

（2），，

，

， ，

由，

，

设，当时，，

设

当时，，，

在上递减，，

即恒成立．

（3）当时，恒成立，即恒成立，

设，即，∴．

∴，，，…，．

∴，

∴，∴．