Question

已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于两点，且点的坐标为，点是椭圆上的任意一点，点满足，．

（1）求椭圆的方程；

（2）求点的轨迹方程；

（3）当三点不共线时，求面积的最大值．

Answer

（1）;（2）;（3）的面积最大值，点为或．

【解析】试题分析：（1）求出椭圆的焦点，利用椭圆的定义，可得椭圆的方程；（2）设，，由题意，，利用点满足，，求点的轨迹方程；（3）由于，故到的距离最大时，的面积最大，即可求面积的最大值及此时点的坐标.

试题解析：（1）∵双曲线的顶点为，，

∴椭圆两焦点分别为，．

设椭圆方程为，

∵椭圆过点，∴，得．

∴．

∴椭圆的方程为．

（2）设点，点，

由及椭圆关于原点对称可得，

，，

，．

由，得，

即． ①

同理，由，得． ②

①×②得． ③

由于点在椭圆上，则，得，

代入③式得．

当时，有，

当，则点或，

此时点对应的坐标分别为或，其坐标也满足方程，

点的轨迹方程为．

（3）点到直线 的距离为．

的面积为

．

而（当且仅当时等号成立），

．

当且仅当时，等号成立．

由解得或

的面积最大值为，此时，点的坐标为或．