Question

已知函数，．

（Ⅰ）当时，求的最大值；

（Ⅱ）若对，恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）证明．

Answer

（I）；（II）；（III）详见解析.

【解析】试题分析：（1）运用导数与函数的单调性的关系等知识直接求解；（2）先对函数进行求导，再运用分类讨论的方法对不等式进行分析转化再运用导数知识求解；（3）先借助（1）的结论建立不等式，再运用叠加法、放缩法分析推证。

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）当时，，，

，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

∴函数的最大值．

（Ⅱ），∵，∴．

①当时，恒成立，

∴在上是减函数，∴适合题意．

②当时，，

∴在上是增函数，∴，

不能使在恒成立．

③当时，

令，得，

当时，，

∴在上为增函数，

∴，不能使在恒成立，

∴的取值范围是．

（Ⅲ）由（Ⅰ）得，

∴（），

取，

，则，

∴

，

∴，

∴．

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了三个问题旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，则直接运用导数与函数单调性之间的关系求解；解答第二问时，先对函数进行求导，再运用分类讨论的思想进行分析验证，从而使得问题获解；解答第三问时，充分借助问题（1）的结论构造不等式，然后运用叠加法、放缩法进行分析推证，从而使得问题简捷、巧妙获证。