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如图,在直四棱柱中,底面为等腰梯形,,,,,、、分别是棱、、的中点. (Ⅰ)求证...

如图,在直四棱柱中,底面为等腰梯形,分别是棱的中点.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

 

(I)详见解析;(II). 【解析】试题分析:(1)建立空间直角坐标系,运用向量求出平面法向量,再借助向量的数量积分析推证;(2)先求两个半平面的法向量,再运用向量的数量积公式探求。 试题解析: 【解析】 因为,,是棱的中点, 所以,为正三角形,因为为等腰梯形, 所以,取的中点, 连接,则 ,所以. 以,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系, 则,, ,,,,, 所以,,. 设平面的法向量为,则 ∴取. (Ⅰ)证明:的方向向量为, ∵,∴ 平面. (Ⅱ)【解析】 ,设平面的法向量为,则 所以取, 则, ,, 所以,由图可知二面角为锐角, 所以二面角的余弦值为.  
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已知向量,设

(Ⅰ)若,求的值;

(Ⅱ)在中,角的对边分别是,且满足,求的取值范围.

 

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