Question

某班为了提高学生学习英语的兴趣，在班内举行英语写、说、唱综合能力比赛，比赛分为预赛和决赛2个阶段，预赛为笔试，决赛为说英语、唱英语歌曲，将所有参加笔试的同学（成绩得分为整数，满分100分）进行统计，得到频率分布直方图，其中后三个矩形高度之比依次为4:2:1，落在的人数为12人．

（Ⅰ）求此班级人数；

（Ⅱ）按规定预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，已知甲乙两位选手已经取得决赛资格，参加决赛的选手按抽签方式决定出场顺序．

（i）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；

（ii）记甲乙二人排在前三位的人数为，求的分布列和数学期望．

Answer

（I）；（II）（i）；（ii）分布列见解析，期望为 .

【解析】试题分析：（1）借助频率分布直方图中的有效信息进行求【解析】
（2）依据题设条件运用古典概型的计算公式及数学期望的求解公式进行求【解析】

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）落在区间的频率是，

所以人数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，

（i）设“甲不在第一位，乙不在最后一位”为事件，

则，

所以甲不在第一位、乙不在最后一位的概率为．

（ii）随机变量的可能取值为0,1,2，

，，，

随机变量的分布列为：

因为，

所以随机变量的数学期望为1．