Question

已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）已知，函数.若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（I）详见解析；（II）.

【解析】试题分析：（1）依据题设运用分类整合思想分类探求；（2）借助题设条件运用等价转化与化归的数学思想进行分类探求：

试题解析：

【解析】
(I)当时，，

当时， 或，在上递增，在（0,2）和上递减；

当时，或，在上递增，在和上递减；

，在上递减.

(II)由（2）知在内单调递减，内单调递增，内单调递减，

又，

故有，

只需在[0,2]上最小值小于等于-1即可.

即时最小值，不合题意，舍去；

即时最小值；

即时最小值；

综上所述：.

点睛：本题以含参数的函数解析式为前提条件与背景，精心设置了两个问题，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，充分依据题设条件，运用分类整合思想分类探求从而使得问题获解；解答第二问时，先将问题进行等价转化与化归，再借助导数分别探求不等式中的两个函数的最值，进而使得问题简捷、巧妙获解。体现价转化与化归的数学思想的巧妙运用。