Question

如图所示，在直角坐标系中，抛物线，设点是第一象限内抛物线上一点，且为抛物线的切线.

（Ⅰ）求点的坐标；

（Ⅱ）圆、均与直线相切于点，且均与轴相切，求圆、的半径之和.

Answer

（I）；（II）.

【解析】试题分析：（1）借助题设及直线与抛物线的位置关系建立方程组求解；（2）依据题设条件，运用直线与圆、抛物线相切建立方程组探求：

试题解析：

【解析】
（I）设直线的方程为：

因为为抛物线的切线，所以

.

又因为点是第一象限内抛物线上一点，所以，

此时点.

（II）直线方程为：,

设圆的圆心坐标分别为,其中，

则圆的半径分别为，

因为圆与直线相切于点，所以.

同理因为圆与直线相切于点，

所以.

即圆的半径是方程的两根，

故.

点睛：解答本题的思路是借助代数中的函数方程等重要工具，运用运算求解及推理论证的思想和方法，直接将几何中的位置关系等价转化为代数中的坐标运算，体现了解析几何的本质。求解第一问时，直接依据题设条件建立方程组，通过解方程组从而使得问题简捷获解；解答第二问时，则借助直线与圆相切的条件建立方程组，通过解方程组使得问题巧妙获解。