Question

在直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，，其中也是抛物线：的焦点，点为与在第一象限的交点，且．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两点，若线段上存在定点使得以、为邻边的四边形是菱形，求的取值范围．

Answer

（I）；（II）.

【解析】试题分析：（1）运用题设条件及椭圆的定义进行求解；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系进行分析探求：

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）抛物线的焦点为，

，∴，

∴，∴，

又，∴，

∴，∴，

又∵，∴，

∴椭圆方程是：．

（Ⅱ）设中点为，因为以、为邻边的四边形是菱形，

则，

设直线的方程为，

联立整理得，

∵在椭圆内，∴恒成立，

∴，

∴，∴，

∴，即，

整理得，

∵，∴，∴，

所以的取值范围是．

点睛：本题旨在考查圆锥曲线中的椭圆、抛物线的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识与基本思想方法的综合运用。求解第一问时，直接运用抛物线的定义及椭圆的定义，求出椭圆中的参数，从而确定了椭圆的方程；（2）第二问的求解则是借助直线与椭圆的位置关系联立方程组，通过对交点坐标的推算建立函数关系，通过求函数的值域，求出参数的取值范围。