Question

设函数．

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值．

Answer

（I）递增区间为，，递减区间为；（II） .

【解析】试题分析：（1）有，得的解析式，得到，求得和的解集，即可得到函数的单调区间；

（2）若 时， 恒成立，则 恒成立，进而得到 恒成立，设，利用导数求得函数单调和最大值，即可得到结论.

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）由题意可得的定义域为，

当时，，

所以 ．

由可得：，所以或

解得或；

由可得：，所以或

解得．

综上可知：递增区间为，，递减区间为．

（Ⅱ）若时，恒成立，则恒成立，

因为，所以恒成立，

即恒成立，

令，则．

因为，

所以在上是减函数，且，

所以在上为增函数，在上是减函数，

∴时，，

∴，又因为，所以．

考点：导数在函数中的综合应用.

点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，函数的恒成立的求解的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及分离参数思想、转化思想的应用，本题的解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值是解答的关键.