Question

设，为正整数，数列的通项公式，其前项和为.

（1）求证：当为偶数时，；当为奇数时，；

（2）求证：对任何正整数，.

Answer

（1）当n为偶数时，；当n为奇数时，;（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）当为偶数时，易得，当为奇数，即时，分为和两种情形分别讨论；（2）利用数学归纳法证明.

试题解析：（1）因为.

当n为偶数时，设，，.当n为奇数时，设，.

当时，，

此时 ，.

当时，，

此时， .

综上，当n为偶数时，；当n为奇数时，.

（2）当时，由（1）得：

，

=.

故时，命题成立

假设时命题成立，即.

当时，由（1）得：

=

=

=

=

即当时命题成立.

综上所述，对正整数命题成立.

点睛：本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；解决该题最关键是理解三角函数诱导公式中的“奇变偶不变，符号看象限”以及数学归纳法在解决关于自然数的等式中应用的基本步骤.