Question

如图，已知椭圆的方程为的四个顶点分别是，，，，是边长为的正三角形，其内切圆为圆.

（1）求椭圆和圆的方程；

（2）若点是椭圆上第一象限内的动点，直线交线段于点.

①求的最大值；

②设，是否存在以椭圆上的点为圆心的圆，使得过圆上任意一点，作圆的切线（切点为）都满足？若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由.

Answer

（1）;（2）①;②存在圆满足条件.

【解析】试题分析：（1）由是边长为的正三角形，可得，即可得出椭圆的标准方程．设内切圆的半径为，则，即可得出内切圆的标准方程．
(2) ①设直线 的方程为: ,.与椭圆的方程联立计算得出,可得.直线的方程为: ,与联立计算得出.可得.
可得,变形利用基本不等式的性质即可得出.
②假设存在以椭圆上的点为圆心的圆,使得过圆上任意一点,作圆的切线(切点为)都满足.当切点为点时,由,可得,由此可得只有可能.其圆的方程为: ,或(舍去).证明即可.

试题解析：（1）由题意知，，，所以，，

∴椭圆的标准方程为；

又圆心，，∴圆的标准方程为.

（2）①设直线的方程是，与直线的方程

联立，解得，，即点，

联立，消去得：

，

解得点.

所以，

当且仅当时，取等号，所以的最大值就是.

②存在

设圆心，点是圆上的任意一点，

其中点的坐标满足，

则（*），

又，，

由得，代入（*）式得：

对圆上任意点恒成立，

所以，解得，经检验，，满足，

所以存在圆满足条件.