Question

已知过点作动直线与抛物线相交于，两点.

（1）当直线的斜率是时，，求抛物线的方程；

（2）设，的中点是，利用（1）中所求抛物线，试求点的轨迹方程.

Answer

（1）;（2）（或）.

【解析】试题分析：（1）根据得到①，再结合韦达定理，，解出即可.

(2)根据（1）中的韦达定理得到的参数方程，消去参数得点的轨迹方程：.

试题解析：设，，显然，，

（1）由题意当直线的斜率为时，其方程为：，即，

又∵，∴①，

联立，消去得：，

∴，且，，

结合①式，可以解出，所以抛物线方程是：.

（2）当直线垂直于轴时，其与抛物线只有一个公共点，不符题意，

所以直线的方程可以设为：，设、中点，

由，消去得：，即，

由解得或，且，

∴，

∴，消去得点的轨迹方程：，

由的取值范围可求出或.

∴点的轨迹方程：（或）.