Question

已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，两点.

（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线的方程；

（2）设，在直线的斜率存在前提下，若，求直线的斜率.

Answer

（1）;（2）.

【解析】试题分析：（1）根据题意，可求得过焦点的弦的端点和的坐标，再根据三角形 为正三角形， 即可求得双曲线的基本量 ；

（2）根据给出的基本量，设出直线的点斜式，与双曲线的方程联立，由韦达定理解出和的关系式，再代入向量关系中，即可得到含直线斜率 的方程，求解进而得到值，故可得到直线斜率的值。

试题解析：（1）设，

由题意，，，，

因为是等边三角形，所以，

即，解得，

故双曲线的渐近线方程为.

（2）由已知，，，

设，，直线：，显然，

由，消去得，

因为与双曲线交于两点，所以，且，

设中点为，

由，即，

因此，，

而，，

∴，

∴，解得，所以直线的斜率为.