Question

如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，∥且，点为中点.

（1）求证：平面；

（2）若点为边上的动点，且，是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）见解析;（2）存在符合条件的.或.

【解析】

试题分析：（1）取中点，连结，易得四边形为平行四边形，进而得到平面，有⊥，又⊥，可得⊥平面. 由，∴⊥平面

（2）以为原点，方向为轴的正方向，方向为轴的正方向，

方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出λ的值．

试题解析：

（1）如图，取中点，连结.

∵是中点，

∴∥，＝＝2.

又∵∥，，

∴∥，，

∴四边形为平行四边形．

∵⊥，⊥，，

∴平面.

∵平面，∴⊥，∴⊥.

∵，∴⊥，

∩＝，

∴⊥平面.

∵，∴⊥平面.

（2）存在符合条件的.

以为原点，方向为轴的正方向，方向为轴的正方向，

方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，，

则，．

设平面的法向量

则，，

∴令，则，，

取平面的一个法向量为．

又平面即为平面，

故其一个法向量为，

∴.

解得或，∴或.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.