选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以原点为极点，以
轴正半轴为极轴，曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
（
为参数，
），射线
与曲线交于（不包括极点
）三点
．
（1）求证：
；
（2）当
时，
两点在曲线上，求
与
的值．
设函数
．
（1）当
时，函数
与
在
处的切线互相垂直，求
的值；
（2）若函数
在定义域内不单调，求
的取值范围；
（3）是否存在正实数
，使得
对任意正实数
恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．
已知抛物线
的焦点为
，过抛物线上一点
作抛物线
的切线
交
轴于点
，交
轴于点
，当
时，
．
（1）判断
的形状，并求抛物线的方程；
（2）若
两点在抛物线上，且满足
，其中点
，若抛物线上存在异于
的点
，使得经过
三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，求点的坐标．
某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第一组 |
| 5 | 0.05 |
第二组 |
| 35 | 0.35 |
第三组 |
| 30 | 0.30 |
第四组 |
| 20 | 0.20 |
第五组 |
| 10 | 0.10 |
合计 | 100 | 1.00 | |
（1）试估计该校高三学生本次月考的平均分；
（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在
中的学生数为
，
求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在中的概率；
②的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）
四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，且平面
平面．
（1）求证：
；
（2）在线段
上是否存在一点
，使二面角
的大小为
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
如图，在
中，
是边
上一点．
（1）求中，是边上一点；
（2）若
的面积为4，
为锐角，求
的长．
