Question

已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，当时，．

（1）判断的形状，并求抛物线的方程；

（2）若两点在抛物线上，且满足，其中点，若抛物线上存在异于的点，使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，求点的坐标．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：(1)设，则切线的方程为，且，令 ，可得 所以为等腰三角形，且为的中点，所以，又因，求得，由此即可求出 ，进而求出抛物线方程为； (2)由已知，得的坐标分别为，设，求出的中垂线方程和的中垂线方程为，联立，得圆心坐标为 ：，由，即可求出，进而求得点坐标．

试题解析：(1)设，

则切线的方程为，且，

所以，

，所以，

所以为等腰三角形，且为的中点，

所以，因为，

所以，所以，得，

所以抛物线方程为；

(2)由已知，得的坐标分别为，设，

的中垂线方程为，①

的中垂线方程为，②

联立①②，解得圆心坐标为 ：，

由，得，

因为，所以，

所以点坐标为．