Question

四棱锥中，底面为直角梯形，，，，且平面平面．

（1）求证：；

（2）在线段上是否存在一点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）过作，交于，连接，则 ，由勾股定理得出 ，故而 平面 ，于是 ；（2）由于平面平面，平面平面， ∴平面．因此以 为原点建立坐标系，设，求出平面 的平面 的法向量 ，令 解出 ，从而得出的值．

试题解析：

(1)过点作，交于，连接．

∵，

∴四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，∴，

又平面平面，

∴平面，∵平面，

∴；

(2)∵平面平面，平面平面， ∴平面．

以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，假设存在点，使得二面角的大小为，

则．

设平面的一个法向量为，则，

∴，令，得，

∵平面，

∴为平面的一个法向量．

∴，

解得，∴．

点睛：利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为，设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，则有（图1）或 （图2）其中.

图1 图2