Question

设函数．

（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；

（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；

（3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）;（2）；（3）．

【解析】

试题分析：(1)本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当时，，可知在处的切线斜率，同理可求得，然后再根据函数与在处的切线互相垂直，得，即可求出结果．

(2)易知函数的定义域为，可得，由题意，在内有至少一个实根且曲线与x不相切，即的最小值为负，由此可得，进而得到，由此即可求出结果. (3)令，可得，令，则，所以在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不妨设，可得，(*)，则在区间内单调递增，在区间内单调递减，

∴，，将(*)式代入上式，得．使得对任意正实数恒成立，即要求恒成立，然后再根据基本不等式的性质，即可求出结果．

试题解析：

(1)当时，，

∴在处的切线斜率，

由，得，∴，∴．

(2)易知函数的定义域为，

又，

由题意，得的最小值为负，

∴．(注：结合函数图象同样可以得到)，

∴

∴，∴；

(3)令，其中，

则，

则，

则，

∴在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不妨设，

即，可得，(*)

则在区间内单调递增，在区间内单调递减，

∴，，

将(*)式代入上式，得．

根据题意恒成立，

又∵，当且仅当时，取等号，

∴，

∴，代入(*)式，得，

即，又，

∴，∴存在满足条件的实数，且．

点睛:对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数，利用恒成立；恒成立，即可求出参数范围.