Question

已知函数.

（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）讨论零点的个数.

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）当且时，，由于都是减函数，故为减函数，利用定义法可证明；（2）化简可得，利用配方法可求得的最大值为，所以；（3）令，化简得利用函数的图像，分类讨论得零点的个数.

试题解析：（1）当时，且时，是单调递减的.

证明：设，则

，

又，所以，所以，

所以，即，

故当时，在上是单调递减的.

（2）由得，变形为，即，

而，

当即时，所以.

（3）由可得，变为，

令

作的图像及直线，由图像可得：

当或时，有个零点.

当或或时，有个零点.

当或时，有个零点.

点睛：本题主要考查利用定义法证明函数的单调性，考查利用分离常数法求解恒成立问题和零点个数问题.第一问给出参数的值和定义域，函数可去掉绝对值，根据初等函数的单调性可判断函数的单调性，利用定义法可证明.第二问和第三问都是采用分离常数法，将常数分离出来，考查另外一部分函数的图像与最值.