Question

已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）判断并证明函数的单调性；

（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.

【解析】

试题分析：

（1）令 ，可得 ；再令 ，可得 ，可得 是奇函数；（2）由题设条件对任意 ，且，由和题意可知， 与 的大小，即可判断单调性；（3）由（2）知在上为单调递增函数，所以在上的最大值为，所以要使对所有，恒成立，只要，即恒成立.然后再构造函数，由题意可得，由此即可求出结果.

试题解析：

（1）奇函数，证明如下：

由题意知，

令，得，所以；

令，得，所以，所以为奇函数.

（2）单调递增函数，证明如下：

由题意知是定义在上的奇函数，设，

则，

当时，有，所以，故在上为单调递增函数.

（3）由（2）知在上为单调递增函数，所以在上的最大值为，

所以要使对所有，恒成立，

只要，即恒成立.

令，则，即，解得或.

故实数的取值范围是或.

点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.