Question

已知平面五边形是轴对称图形(如图1)，BC为对称轴，AD⊥CD，AD=AB=1，，将此五边形沿BC折叠，使平面ABCD⊥平面BCEF，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.

（1）证明：AF∥平面DEC；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析，（2）

【解析】

试题分析：（1）作 交 于点 ，连接 ．由已知条件得 ．所以 面．同理： 面 ．由此能证明 平面AFB． （2）过G作GH⊥AD于点H，连接HE.由（1）知EG⊥BC，又平面ABCD⊥平面BCEF，平面ABCD∩平面BCEF=BC，所以EG⊥平面ABCD，所以EG⊥AD.可得AD⊥平面EHG，则AD⊥HE，则∠EHG即为二面角的平面角. 在中，即可求出二面角 的余弦值．

试题解析：

（1）如图，过D作DG⊥BC于点G，连接GE，

因为BC为对称轴，所以AB⊥BC，则有AB∥DG，又AB⊂平面ABF，

所以DG∥平面ABF，同理EG∥平面ABF.又DG∩EG=G，所以平面DGE∥平面ABF.

又平面AFED∩平面ABF=AF，平面AFED∩平面DGE=DE，所以AF∥DE，

又DE⊂平面DEC，所以AF∥平面DEC.

（2）如图，过G作GH⊥AD于点H，连接HE.由（1）知EG⊥BC，又平面ABCD⊥平面BCEF，平面ABCD∩平面BCEF=BC，所以EG⊥平面ABCD，所以EG⊥AD.

又EG∩HG=G，所以AD⊥平面EHG，则AD⊥HE，

则∠EHG即为二面角的平面角.

由AD⊥CD，AD=AB=1，，得G为BC的中点，，，.

因为为直角三角形，所以，

则二面角的余弦值为.

点睛：作二面角的平面角主要有3种方法：

（1）定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2条射线，这2条射线所夹的角即为二面角的平面角；

（2）垂面法：作垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角即为二面角的平面角；

（3）三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）作另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再作棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角.