Question

椭圆的左、右焦点分别为，在椭圆上，△的周长为,面积的最大值为.

（I）求椭圆的方程；

（II）直线与椭圆交于，连接并延长交椭圆于，连接．探索与的斜率之比是否为定值并说明理由．

Answer

（I）；（II）.

【解析】

试题分析：（1）由椭圆定义可得△周长为，面积最大值为，列方程组可解得，（2）先根据对称性可设，.再根据点斜式写出直线方程，与椭圆方程联立方程组解出点坐标，类似可得坐标，最后根据斜率公式写出的斜率，得到与的比例关系.

试题解析：（I），

，

得， 所以.

（II）设，则.

直线，

代入得，

因为，代入化简得，

设，则，所以，

直线，同理可得，.

所以

，所以.

点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.