Question

选修44：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，在以原点为极点， 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为．
   （Ⅰ）若直线与曲线C有公共点，求的取值范围；

   （Ⅱ）设为曲线C上任意一点，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析:（Ⅰ）先根据 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据条件列出直线参数方程，代入曲线直角坐标方程，利用判别式列出不等式，解不等式可得的取值范围；（Ⅱ）曲线为一个圆，所以根据圆的参数方程可得，因此根据三角函数配角公式及正弦函数性质可求的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）∵曲线的极坐标方程为，

∴曲线的直角坐标方程为

∵直线经过点，其倾斜角为，

∴直线的参数方程为（为参数）

将，代入整理得

∵直线与曲线有公共点，∴即或

∵ ∴的取值范围是

（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为可化为

其参数方程为（为参数）

∵为曲线上任意一点，∴

∴的取值范围是．