Question

设，曲线在点处的切线与直线垂直．

（1）求的值；

（2）若对于任意的， 恒成立，求的取值范围；

（3）求证： ．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析

【解析】试题分析:（Ⅰ）先求导数，再根据导数几何意义列方程，解方程可得的值；（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，本题去分母转化为差函数： ，因为，所以最大值不小于，根据导函数符号可得才满足条件.（Ⅲ）不等式证明中涉及求和问题，一般方法为适当放缩，再利用裂项相消法给予证明.本题由（Ⅱ）知，当时, 时, 成立，所以放缩这一难点已暗示，下面只需令得，即，最后叠加可得证.

试题解析：（Ⅰ）

由题设，∴ .

（Ⅱ）,， ，即

设，即.

①若， ，这与题设矛盾

②若当, 单调递增， ，与题设矛盾.

③若当， 单调递减， ，即不等式成立

综上所述， .

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时, 时, 成立.

不妨令所以，

…………

累加可得

∴

点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地， 恒成立，只需即可； 恒成立，只需即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.