Question

如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点．

（1）若，求曲线的方程；

（2）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；

（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求的面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）和（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）

【解析】【解析】试题分析:（Ⅰ）本题曲线方程的求法实质为待定系数法，即根据条件列出两个方程组，解出对应参数即可（Ⅱ）本题证明方法为以算代证，即先求出弦的中点坐标，再代入双曲线渐近线方程进行验证.先根据条件设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，根据韦达定理及中点坐标公式求出弦中点横坐标（或纵坐标），代入直线方程可得弦中点纵坐标（或横坐标），再代入双曲线另一渐近线方程进行验证.（Ⅲ）三角形的面积可转化为等于两个三角形面积之差，即，所以只需根据直线方程（设直线斜率）与椭圆方程，利用韦达定理表示出，并根据判别式大于零列出直线斜率取值范围，最后根据基本不等式求最值.

试题解析：（Ⅰ）

则曲线的方程为和

（Ⅱ）曲线的渐近线为 ,如图，设直线

则

又由数形结合知

设点，则，

即点 在直线上

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，曲线，点

设直线的方程为

设由韦达定理：

令,则

，当且仅当即时等号成立

时，