Question

已知函数.

（1）求函数在上的最小值；

（2）若函数有两个不同的极值点且，求实数的取值范围.

Answer

(1)当时，函数在上的最小值，当时，函数在上的最小值为；(2).

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用导数的有关知识求解；(2)借助题设运用导数构建方程组求解.

试题解析：

（1）由题意，得

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在上的最小值，

当时，函数在上单调递增，所以函数在上的最小值为.

（2）由题知.则，

知有两个不同的实根，

等价于有两个不同的实根，

等价于直线与函数的图像有两个不同的交点.

，知在上递减，在上递增.

所以当时，存在，且的值随的增大而增大，

当时，由题意知

两式相减得得，代入上述方程组得.

此时实数

所以实数的取值范围为.

考点：导数与函数的单调性之间的关系及方程不等式的理论等有关知识的综合运用.

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力. 本题的第一问是直接求导,分类运用导数与函数单调性的关系求出给定区间上的最小值使得问题获解；第二问则利用题设中的条件借助导数这一有效工具建构方程进行分析推证,从而求出参数的取值范围.