Question

已知函数（其中是实数）．

（1）求的单调区间；

（2）若设，且有两个极值点，（），求取值范围．（其中为自然对数的底数）．

Answer

（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求出的定义域为，，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出的单调区间；（2）推导出，令，则恒成立，由此能求出的取值范围．

试题解析：（1）的定义域为，，

令，，对称轴，，

（1）当，即时，

于是，函数的单调递增区间为，无单调递减区间．

（2）当，即或时，①若，则恒成立

于是，的单调递增区间为，无减区间．②若

令，得，，

当时，，当时，．

于是，的单调递增区间为和，单调递减区间为．综上所述：

当时，的单调递增区间为，无单调递减区间．

当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．

（2）由（1）知，若有两个极值点，则，且，，

又，，，，又，解得，于是，

令（），则恒成立，在单调递减，，即，故的取值范围为

考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值中的应用.

【方法点晴】本题考查函数的单调区间的求法，考查函数值之差的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法、分类讨论思想的合理运用．由，得函数单调递增，得函数单调递减；结合，将表示为关于的函数，利用导数判断其单调性，从而得其取值范围.