Question

如图，四棱锥中，平面，，，，，，为线段上一点，且．

（1）求证：；

（2）若平面平面，直线与平面所成的角的正弦值为，求的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）由平面得出，在中使用正弦定理可得，故而平面，于是；（2）由面面垂直可得，以为原点建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，则，列方程解出即可．

试题解析：证明：（1）在中，，，，

由正弦定理得：，即，解得，

，即，

平面，平面，，

又，平面，平面，平面，

平面，．

（2）平面，平面，平面．

，，即为二面角的平面角．

平面平面，，

以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，．

，，，．

，．

设平面的法向量为，则

令，得．

设直线与平面所成的角为，则

，

或．

考点：直线与平面所成的角；线线垂直的判定.

【方法点晴】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．直线与平面所成角的正弦值即为直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值.