Question

如图，四棱锥中，，，，，侧面为等边三角形．

（1）证明：；

（2）求二面角的正弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）取的中点，连结，推导出，，由此能证明；（2）分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

试题解析：（1）取的中点，连结，则四边形为矩形，∴，

∵为等边三角形，∴，

∵，

∴平面，平面，

∴．

（2），过作平面，则，，两两垂直，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．

则，，，，，，，

，平面，，．

设平面的法向量为．，，

，．

取，则

设二面角为，则，

考点：线线垂直的判定；二面角的平面角及其求法.