Question

设等差数列的前项和为，，，若，且，数列的前项和为，且满足（）．

（Ⅰ）求数列的通项公式及数列的前项和；

（Ⅱ）是否存在非零实数，使得数列为等比数列？并说明理由．

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）不存在非零实数，使数列为等比数列，理由见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设数列的公差为，利用数量积运算性质可得：，又，解得，，可得数列的通项公式，再利用“裂项求和”方法即可得出；（Ⅱ）由()，且，可得，对分类讨论，利用等比数列的定义即可得出．

试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为，由，，，得又解得，，因此数列的通项公式是（），所以，

所以

（Ⅱ）因为（）且可得，

当时，；当时，，此时有，若是等比数列，则有，而，，彼此相矛盾，故不存在非零实数，使数列为等比数列．

考点：数列递推式；数列求和.