Question

如图，在三棱柱中，是等边三角形，，是中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当三棱锥体积最大时，求点到平面的距离．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接，交于，连接．利用平行四边形的性质、三角形中位线定理可得：，再利用线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）设点到平面的距离是，可得，而，故当三棱锥体积最大时，即平面．由（Ⅰ）知：，可得到平面的距离与到平面的距离相等．设到平面的距离为，由，利用体积变形即可得出．

试题解析：（Ⅰ）连结，交于，连在三棱柱中，四边形为平行四边形，则．又是中点，，而平面，平面，

平面．

（Ⅱ）设点到平面的距离是，则，而，

故当三棱锥体积最大时，，即平面．

由（Ⅰ）知：，所以到平面的距离与到平面的距离相等.

平面，平面，，

是等边三角形，是中点，，又，平面，平面，平面，，由计算得：

，，所以．

设到平面的距离为，由得：，所以到平面的距离是．

考点：线面平行的判定；点、线、面间的距离.