Question

如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，．

（1）证明：平面；

（2）求异面直线和所成角的大小；

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接交于点，由三角形中位线定理得，由此能证明平面；（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出异面直线与所成角．

试题解析：（1）证明：连接与相交于点，连接．

由矩形可得点是的中点，又是的中点，

，平面，平面，平面

（2）∵，不失一般性令，，∴．

以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．

则，，，，，．

设异面直线与所成角为，

则，

∴，

∴异面直线与所成角为．

考点：线面平行的判定；异面直线所成的角.

【一题多解】（2）由（1）得或其补角为异面直线和所在角，设，则

，

，．

在中，由余弦定理得，，且，

，异面直线和所成角的大小为.