Question

若存在常数、、，使得无穷数列满足 则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.

（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.

①当时，求；

②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；

（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.

Answer

（Ⅰ）①6，②（Ⅱ）或.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）①实际考查对新定义的理【解析】
，，再代入即得结果②题目暗示每三项一组进行分组求和：分组后成等差数列，首项为12，公差为18，项数为，因此，而不等式恒成立问题一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：，再根据数列单调性求其最大值：为第二项（Ⅱ）分与两种情况，分别表示出，并利用，及，解出公差及公比，写出通项公式

试题解析：（1）①方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，

，，. ………3分

方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，

∴，，，，，，，…

∴当时，是周期为3的周期数列.

∴. …………3分

②方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，

∴，

∴是以为首项、6为公差的等差数列，

又，

， ……………6分

，，设，则，

又，

当时，，；当时，，，

∴，∴， …………9分

∴，得. …………10分

方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，

∴，∴，∴是首项为、公差为6的等差数列，

∴，

易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，

，

， ……………6分

以下同方法一.

（2）方法一：设的段长、段比、段差分别为、、，

则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，

当时，，即恒成立， ……………12分

①若，则，；

②若，则，则为常数，则，为偶数，，；

经检验，满足条件的的通项公式为或. ……………16分

方法二：设的段长、段比、段差分别为、、，

①若，则，，，，

由，得；由，得，

联立两式，得或，则或，经检验均合题意. …………13分

②若，则，，，

由，得，得，则，经检验适合题意.

综上①②，满足条件的的通项公式为或. ……………16分

考点：新定义，分组求和，利用数列单调性求最值

【方法点睛】分组转化法求和的常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；