Question

在平面直角坐标系中中，已知定点，，分别是轴、轴上的点，点在直线上，满足：，．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设为点轨迹的一个焦点，、为轨迹在第一象限内的任意两点，直线，的斜率分别为，，且满足，求证：直线过定点．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）直接法求动点轨迹，先设点坐标，点坐标，点坐标，根据条件，，列关系，消去参数，得轨迹方程（Ⅱ）先表示直线方程：设，，则直线：，即，再由得，所以直线过定点．

试题解析：（1）设点坐标，点坐标，点坐标．

由，，

得消去，得

所以点轨迹方程为．…………………3分

（2）设，两点的坐标分别为，，

则， 相减：

所以………………………5分

，，由得

所以，得

直线：，即………………………7分

令，得

所以直线过定点．…………………………10分

考点：直接法求轨迹方程，直线过定点

【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.