Question

已知函数.

（1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

（2）求的单调区间；

（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是，当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是，当时，的单调递增区间是，当时, 的单调递增区间是和，单调递减区间是；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据导数几何意义得列等量关系，解得；（2）先研究函数零点：；当时，一个零点；当时，两个零点，此时再比较两个零点大小，需分三种情况讨论：最后列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调区间；（3）任意存在性问题，一般先转化为对应函数最值问题：，易确定的最大值为，此时可继续分类讨论求的最大值，也可以再利用变量分离转化为对应函数最值：的最大值.

试题解析：（1）由题意知，，即，解得.

（2）.①当时，，在区间上，；在区间上，，故的单调递增区间是，单调递减区间是.②当时，在区间和上，；在区间上，，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.③当时，，故的单调递增区间是.④当时,,在区间和上，；在区间上，，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.

（3）由题意知，在上有,由已知得，，由（2）可知，①当时, 在上单调递增，故，所以，解得,故.②当时, 在上单调递增，在上单调递减，故,由可知，即，

综上所述，.

考点：1、导数几何意义、利用导数研究函数单调性进而求最值；2、不等式恒成立问题.

【方法点睛】本题主要考查导数几何意义、利用导数研究函数单调性进而求最值以及不等式恒成立问题，属于难题.对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.