Question

如图几何体是四棱锥，为正三角形， ，且.

（1）求证: 平面平面；

（2）是棱的中点，求证:平面；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；(3).

【解析】

试题分析：（1）先证面再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2），再由由线线平行得到线面平行可得平面；(3)建立空间直角坐标系, 分别算出平面和平面的法向量, 用空间向量数量积推论算出二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明: 为正三角形，故连接交于点，则,又， 故面平面平面 .

（2）证明: 取的中点，连接，则，且平面平面；而，且平面平面.综上所述，平面平面平面 .

（3）由（1）知，且，则是直角三角形，且，在中作于，可求得也即与重合，故；又是的中点，故，故如图建立空间直角坐标系，则.设平面的法向量为，则由得,同理得平面的法向量,故二面角的平面角的余弦值为.

考点：1、面面垂直的判定定理；2、线面平行的判定定理；3、空间向量夹角余弦公式.