Question

已知函数，且.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若对任意，都有，求的取值范围；

（Ⅲ）证明函数的图象在图象的下方.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求函数的导数得，由求出的值即可得到函数的解析式；（Ⅱ），构造函数，则，求函数导数，利用导数求函数即可；（Ⅲ）“函数的图象在图象的下方”等价于“恒成立”，由（Ⅱ）可得即，所以只要证即，构造函数，证明在区间上，即可.

试题解析： （Ⅰ）易知，所以，又………………1分

∴……………………………2分

∴.…………………………3分

（Ⅱ）若对任意的，都有，

即恒成立，即：恒成立………………4分

令，则，…………………………6分

当时，，所以单调递增；

当时，，所以单调递减；……………………8分

∴时，有最大值，

∴，即的取值范围为.…………………………10分

（Ⅲ）要证明函数的图象在图象的下方，

即证：恒成立，

即：………………………11分

由（Ⅱ）可得：，所以，

要证明，只要证明，即证：………………12分

令，则，

当时，，所以单调递增，

∴，

即，……………13分

所以，从而得到，

所以函数的图象在图象的下方.…………14分

考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与不等式.

【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值以及函数与不等式，属难题；近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.