Question

某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足，其中，当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化.

（Ⅰ）如果投放的药剂质量为，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？

（Ⅱ）如果投放的药剂质量为，为了使在9天（从投放药剂算起包括9天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的最小值.

Answer

（Ⅰ）天；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，,这时时，显然符合题意，当时，由可得，由此可得到受益人天数；（Ⅱ）当投放的药剂质量为时，，当时，在区间上单调递增，当时，由导数知识可知函数在上单调递减，为使，解不等式可求的取值范围，从而求出其最小值.

试题解析： （Ⅰ）当时，，…………………………2分

当时，显然符合题意；………………………………3分

当时，由可得；……………………………………5分

综上，所以自来水达到有效净化一共可持续21天…………………………6分

（Ⅱ）由……………………………………7分

当时，在区间上单调递增，所以；………………2分

当时，，所以函数在上单调递减，从而得到，

综上可知：，……………11分

为使恒成立，只要即可，

所以，………………………12分

所以应该投放的药剂质量的最小值为.…………………………13分

考点：1.函数建模问题；2.导数与函数的单调性、最值.