Question

已知函数．

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）令，求函数的极值；

（3）若，正实数满足，证明：．

Answer

（1）（2）当时，函数无极值；当时，函数有极大值，无极小值（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率，所以先求导数得，即，又，再根据点斜式得切线方程（2）先求导数，再分类讨论导函数在定义区间上符号变化规律，确定极值取法：当时，，函数无极值点．当时，一个零点，导函数在其左右符号变化，先增后减，所以有极大值，无极小值

（3）先化简为，转化为关于函数关系式：，研究函数，其中，得，因此，解不等式得

试题解析：（1）当时，，则，所以切点为，

又，则切线斜率，

故切线方程为，即．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2），

则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

当时，∵，∴．

∴在上是递增函数，函数无极值点．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

当时，，令得，

∴当时，；当时，，

因此在上是增函数，在上是减函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴时，有极大值，

综上，当时，函数无极值；

当时，函数有极大值，无极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分

（3）证明：当时，，

由，即，

从而，

令，则由得：，

可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴，∴，

∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：导数几何意义，利用导数求函数极值，利用导数证不等式

【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.