Question

在多面体中，四边形与是边长均为的正方形，四边形是直角梯形，，且．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明往往利用线面垂直判定定理给予证明，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直，往往需要从两方面进行寻找与论证，一是结合平几知识，本题利用勾股定理证得，二是利用线面垂直性质定理，即先由线线垂直得线面垂直平面，而，则平面，因此可得，最后根据线面垂直判定定理得平面，（2）求四棱锥的体积，关键是求高，而高的寻找依赖于线面垂直：过作于，则易证过作，即为高，最后根据体积公式得体积

试题解析：

（1）证明：连接，由可知：

；，

可得，从而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∵，∴平面，

又∵，∴平面，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）

过作的平行线交于的延长线于点，连接交于点，

过作于，

则，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

可得四边形的面积，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

故．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：面面垂直判定定理，面面垂直判定定理，四棱锥的体积

【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．