Question

已知椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于长轴的弦长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点为椭圆的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，证明：为定值．

Answer

（1）（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）过左焦点且垂直于长轴的弦长为通径长，即，又离心率为，得，再由，解方程组得（2）解析几何中证明定值问题，一般方法为以算代证，因为，利用，消y得，再联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，代入化简得定值41

试题解析：（1）由，可得椭圆方程．．．．．．．．．．4分

（2）设的方程为，代入并整理得：

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

设，则，

又因为，同理．．．．．．．．．．．．．．8分

则，

所以是定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：解析几何中定值问题

【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.