Question

已知圆，直线.

（1）若直线与圆交于不同的两点,当时，求的值.

（2）若是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点；

（3）若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用点到直线的距离公式，结合点到直线的距离，即可求解的值；（2）由题意得可知四点共圆且以为直径的圆上，在圆上可得直线的方程，即可得到直线是否过定点；（3）设圆心到直线的距离分别为 ，则，表示出四边形的面积，利用基本不等式，可求求四边形的面积.

试题解析：（1） 点到的距离,

.

（2）由题意可知：四点共圆且在以为直径的圆上，设,

其方程为：

,即：，

又在圆上，

即，由得，

直线过定点.

（3） 设圆心到直线的距离分别为 ,

则，

.

当且仅当即时，取“=”.

四边形的面积的最大值为.

考点：直线与圆的位置关系；两点间的距离公式.

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置及其应用问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式，基本不等式的应用、三角形的面积公式、直线过定点问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，解答中灵活应用直线与圆的位置关系、点到直线的距离、以及合理转化是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.